もし二つの円が互いに接するならば、それらは同じ中心を持たないであろう。
前回は、二つの円が交わる場合、それらは同じ中心を持たないことを証明した。今回は、前回予告した通り、二つの円が接する場合の話である。
さて、二円ΑΒΓ、ΓΔΕが、点Γにおいて互いに接するとしよう。このとき、これらは同じ中心を持たないことを示す。
証明は背理法を使う。これらが同じ中心を持つと仮定し、それをΖとする。そして、ΖΓを結び*1、任意にΖΕΒを引く。
すると、点Ζは円ΑΒΓの中心であるので、ΖΓはΖΒに等しい*2。また、点Ζは円ΓΔΕの中心でもあるので、ΖΓはΖΕに等しい*3。
ともにΖΓに等しいので、ΖΒとΖΕは互いに等しい*4。従って小さいものが大きいものに等しくなるが、これは不可能である*5。ゆえに点Ζは、二円ΑΒΓ、ΓΔΕの中心ではない。
よって、もし二つの円が互いに接するならば、それらは同じ中心を持たないであろう。これが証明すべきことであった。
前回予告した通り、この証明方法は前回と全く同じである。文章もほとんど同じだ。
ところで、今回の証明では二円が内接していたが、単に「接する」だけなら、外接もあり得る。
外接する場合、今回の証明と同じ論法が使えるとは限らない。例えば以下のような場合だ。
点Ζが二円の外部にあると仮定すると、ΖΕとΖΒが等しくても矛盾しない。
が、そもそも、円の定義から、円の中心は円の内部になくてはいけない。よって、二円の外部にある点Ζが二円の中心になることはない。これが証明すべきことであった。
命題5と6から、二円が一点以上で交わる場合は、同じ中心を持たないことがわかる。このことは、命題10以降で二円の関係を調べるときに利用される。