ΣΤΟΙΧΕΙΑ -ストイケイア-

ユークリッドの『原論』を少しずつ読んでいくブログです。タイトルは『原論』の原題「ΣΤΟΙΧΕΙΑ」より。

公準1

第2巻命題6 二等分および延長された線分上の矩形

もし線分が二等分され、任意の線分がそれと一直線を成して加えられるならば、加えられた線分を含んだ全体と加えられた線分とに囲まれた矩形ともとの線分の半分の上の正方形との和は、もとの線分の半分と加えられた線分とを合わせた線分上の正方形に等しい。

第2巻命題5 二等分および二分された線分上の矩形

もし線分が相等および不等な部分に分けられるならば、不等な部分に囲まれた矩形と二つの区分点の間の線分上の正方形との和は、もとの線分の半分の上の正方形に等しい。

第2巻命題4 二分された線分全体の上の正方形

もし線分が任意に二分されるならば、全体の上の正方形は、二つの部分の上の正方形と、二つの部分によって囲まれた矩形の二倍との和に等しい。

第1巻命題48 ピタゴラスの定理の逆

もし三角形において、一辺の上の正方形が三角形の残りの二辺の上の正方形の和に等しければ、三角形の残りの二辺によって挟まれる角は直角である。

第1巻命題47 ピタゴラスの定理

直角三角形において、直角の対辺の上の正方形は直角を挟む二辺の上の正方形の和に等しい。

第1巻命題45 直線図形に等しい平行四辺形の作図(領域付置)

与えられた直線角の中に、与えられた直線図形に等しい平行四辺形を作ること。

第1巻命題44 三角形に等しい平行四辺形の作図[角と線分を与えられた場合]

与えられた線分上に与えられた三角形に等しい平行四辺形を、与えられた直線角に等しい角の中に作ること。

第1巻命題42 三角形に等しい平行四辺形の作図[角を与えられた場合]

与えられた直線角の中に与えられた三角形に等しい平行四辺形を作ること。

第1巻命題41 平行四辺形は三角形の二倍

もし平行四辺形が三角形と同じ底辺を持ち、かつ同じ平行線の間にあれば、平行四辺形は三角形の二倍である。

第1巻命題40 等底上の等しい三角形

等しい底辺の上にあり、かつ同じ側にある等しい三角形は同じ平行線の間にある。

第1巻命題39 同底上の等しい三角形

同じ底辺の上にあり、かつ同じ側にある等しい三角形は同じ平行線の間にある。

第1巻命題36 平行四辺形の等積変形[等底編]

等しい底辺の上にあり、かつ同じ平行線の間にある平行四辺形は互いに等しい。

第1巻命題33 平行な二線分を結ぶ二線分

等しくかつ平行な二線分を同じ側で結ぶ二線分は、それ自身等しくかつ平行である。

第1巻命題31 平行線の作図

与えられた点を通り、与えられた直線に平行線を引くこと。

第1巻命題26 三角形の合同条件(一辺両端角相等)

もし二つの三角形において、二角が二角にそれぞれ等しく、一辺が一辺に、すなわち等しい二角に挟まれる辺かまたは等しい角の一つに対する辺が等しければ、残りの二辺も残りの二辺に等しく、残りの角も残りの角に等しいであろう。

第1巻命題24 二つの三角形の不等な角

もし二つの三角形において、二辺が二辺にそれぞれ等しく、等しい線分によって挟まれる角の一方が他方より大きいならば、底辺も底辺より大きいであろう。

第1巻命題23 角の移動

与えられた直線上にその上の点において与えられた直線角に等しい直線角を作ること。

第1巻命題22 三辺を与えられた三角形

与えられた三線分に等しい三線分から三角形を作ること。ただしどの二線分をとっても、その和は残りの線分より大きくなければならない。

第1巻命題20 三角形の二辺の和

すべての三角形において、どの二辺をとってもその和は残りの一辺より大きい。

第1巻命題18 三角形の大きい辺は大きい角に対する

すべての三角形において、大きい辺は大きい角に対する。

第1巻命題16 三角形の外角は内対角より大きい

すべての三角形において、辺のひとつが延長されるとき、外角は内対角のいずれよりも大きい。

第1巻命題12 直線外の点を通る垂線

与えられた無限直線にその上にない与えられた点から垂線を下ろすこと。

第1巻命題11 直線上の点を通る垂線

与えられた直線にその上の与えられた点から直角に直線を引くこと。

第1巻命題9 角の二等分

与えられた直線角を二等分すること。 与えられた直線角を角ΒΑΓとせよ。このときそれを二等分しなければならぬ。

第1巻命題7 三角形の合同条件(三辺相等)[準備編]

ひとつの線分を底辺として、三角形を成す二線分にそれぞれ等しく、同じ側に異なった点で交わり、最初の二線分と同じ端を持つ他の二線分を作ることはできない。

第1巻命題6 二角の等しい三角形は二等辺三角形

もし三角形の二角が互いに等しければ、等しい角に対する辺も互いに等しいであろう。

第1巻命題5 二等辺三角形の底角は等しい

二等辺三角形の底辺の上にある角は互いに等しく、等しい辺が延長されるとき、底辺の下の角は互いに等しいであろう。

第1巻命題2 長さ(線分)の移動

与えられた点において与えられた線分に等しい線分を作ること。

第1巻命題1 正三角形の作図

与えられた有限な直線(線分)の上に等辺三角形を作ること。

第1巻 公準と公理

公準(要請) 次のことが要請されているとせよ。 任意の点から任意の点へ直線をひくこと。 および有限直線を連続して一直線に延長すること。 および任意の点と距離(半径)をもって円を描くこと。 およびすべての直角は互いに等しいこと。 および一直線が二…