もし円周上に任意の二点が取られるならば、二点を結ぶ線分は円の内部に落ちるであろう。
図のように、円ΑΒΓあり、その円周上の二点ΑとΒを結ぶ。
このとき、線分ΑΒは、円の内部に落ちる(内部を通る)というのが、この命題の主張である。
当たり前である。
だが、一見当たり前のことでも律義に証明するのが『原論』の特徴であり、魅力のひとつだ。こんな当たり前のことをどうやって証明するのだろうか。早速見ていこう。
証明には背理法を用いる。ΑΒΓを円とし、円周上の任意の二点Α、Βを結ぶ*1。このとき、線分ΑΕΒが円の外部に落ちるとする。
(ΑΕΒは線分)
円ΑΒΓの中心を取ってΔとし*2、ΔΑ、ΔΒを結び*3、線分ΔΖΕを引く*4。
ここで、三角形ΔΑΒに注目しよう(ΑΕΒは直線である)。円の定義からΔΑはΔΒに等しいので*5、三角形ΔΑΒは二等辺三角形になる。ゆえに角ΔΑΕは角ΔΒΕに等しい*6。
次に、左側の三角形ΔΑΕに注目しよう。一辺ΑΕをΒまで延長しているので、角ΔΕΒは角ΔΑΕより大きい*7。しかも角ΔΑΕは角ΔΒΕに等しい。したがって角ΔΕΒは角ΔΒΕより大きい。
ところで、右側の三角形ΔΕΒに注目すると、大きい角には大きい辺が対するので、辺ΔΒは辺ΔΕより大きい*8。しかし辺ΔΒは線分ΔΖに等しい(ともに円の半径なので)。ゆえにΔΖはΔΕより大きいことになり、小さいものが大きいものより大きいことになってしまう。これは不可能である。ゆえに、ΑΒを結ぶ線分は円の外部に落ちない。
同様にして、円周そのものの上にも落ちないことを証明しうる(ΔΒは、ΔΕより大きく、かつ、ΔΕに等しくなる)。したがって円の内部に落ちるであろう。
よって、もし円周上に任意の二点が取られるならば、二点を結ぶ線分は円の内部に落ちるであろう。
なかなか面白い証明である。
ただし、「抜け」というほどではないが、多少言葉足らずの部分がある。この証明では、線分ΑΕΒの全体が円の外部に落ちることを否定しているが、本来は線分ΑΕΒの「一部」が円の外部に落ちることを否定しなくてはならない。
命題の主張は「二点を結ぶ線分(の全体)は円の内部に落ちる」であり、その否定は「二点を結ぶ線分の一部は円の外部または円周上に落ちる」であるからだ。
ただし、全体であろうと一部であろうと、証明のあらすじは変わらない。
今回の証明で面白いのは、第1巻命題19が使用されていることだ。第1巻命題19は、第1巻の中ではあまり有効活用されていなかった。この命題が絡む命題は六つしかなく、しかもその六つで完結しているのである。
しかしここにきて、突然の活躍である。彼(だか彼女だか)がいなければ、我々は円周上の二点を結ぶ線分が円の内部に落ちることを、証明できないのである*9。
なお、ここまでずっと「円周上の二点を結ぶ線分」と呼んでいたが、これはもちろん弦のことである。「弦は円の内部を通る」というのが、今回の命題の主張である。