オペレヴィ・ヴィクセ

ユークリッドの『原論』を少しずつ読んでいくブログです。タイトルは「Q.E.D.」の元になったギリシャ語の「όπερ έδει δείξαι.」。

第1巻命題36 平行四辺形の等積変形[等底編]

等しい底辺の上にあり、かつ同じ平行線の間にある平行四辺形は互いに等しい。 

 

前回は、底辺が共通で高さが等しい平行四辺形は、互いに(面積が)等しいことを示した。

stoixeia.hatenablog.com

今回は、底辺が共通でなくても、等しければ面積が等しいことを示す。

f:id:kigurox:20180120190037p:plain(ΒΓ=ΖΗ)

図のように、平行線ΑΘ、ΒΗの間に、二つの平行四辺形ΑΒΓΔとΕΖΗΘがあり、底辺ΒΓ、ΖΗが互いに等しいとする。

まず、ΒΕ、ΓΘを結ぶ*1

f:id:kigurox:20180120190315p:plain

底辺ΒΓは底辺ΖΗに等しいが、底辺ΖΗは辺ΕΘにも等しい(なぜならΕΖΗΘは平行四辺形なので)*2。ゆえに辺ΒΓは辺ΕΘに等しい*3。しかも平行である。よってΒΓΕΘは等しくかつ平行な線分なので、それらを同じ側で結ぶΒΕΓΘも、等しくかつ平行である*4

ΒΓΕΘが平行線で、ΒΕΓΘも平行線なので、四角形ΒΓΘΕは平行四辺形である。しかも平行四辺形ΑΒΓΔに等しい(なぜなら、底辺ΒΓが共通なので)*5。同様に、平行四辺形ΕΖΗΘも、ΒΓΘΕに等しい。したがって二つの平行四辺形ΑΒΓΔΕΖΗΘは、どちらもΒΓΘΕに等しいので、両者は等しい*6

よって等し底辺の上にあり、かつ同じ平行線の間にある平行四辺形は互いに等しい。これが証明すべきことであった。

 

補助線ΒΕ、ΓΘを引けば、ΑΒΓΔもΕΖΗΘも、ともにΒΓΘΕに等しくなるので等しい、という証明だ。

 

冒頭で述べた通り、前回は底辺が共通な平行四辺形の場合を論じたが、今回は底辺が等しい平行四辺形の場合を論じた。

ただし、どちらも「同じ平行線の間にある」という条件が付く。

我々は、「底辺が等しく、高さも等しい平行四辺形は等しい」ということを知っている。したがって、同じ平行線の間になくても、高さが等しければ等しい。次回はそれを証明する……かと思いきや、実はそのことは第1巻には登場しない。つまり第1巻だけでは、てんで違う位置にある平行四辺形は、等しいかどうか判断できないのだ。
(もしかしたら第6巻あたりに出てくるのかもしれないが、私はまだそこまで詳しく読めていない)

私は前回と今回の記事のタイトルを、「平行四辺形の等積変形」とした。「平行四辺形の面積」とはしなかった。どちらにするべきか悩んだのだが、「面積」とするためには位置が関係してはならないと判断し、このようにした。

なぜユークリッドは、同じ平行線の間にある場合しか論じなかったのだろう。「高さ」という概念がなかったわけではない。『原論』第6巻に、高さの定義が出てくるからだ。

第6巻 定義4
すべての図形において、高さとは頂点から底辺に引かれた垂線である。

「同じ平行線の間にある」という言葉が、「同じ高さ」という意味を含んでいるわけでもない。高さの定義は上記の通りだが、平行線の定義は次の通りだからだ。

第1巻 定義23
平行線とは、同一の平面上にあって、両方向に限りなく延長しても、いずれの方向においても互いに交わらない直線である。

平行かどうかは、交わるかどうかに依存するので、二線分の距離(高さ)とは無関係だ*7

ユークリッドは、なぜ平行四辺形の高さと面積の関係について、論じなかったのだろうか。

考えられる理由としては、私がタイトルにつけたように、ユークリッドの興味が面積ではなく等積変形にあった可能性が上げられる。次回から三角形の等積変形を論じるのだが、その中で前回と今回の命題が登場するのだ。そしてその三角形の等積変形を利用して、命題47でピタゴラスの定理を証明する。この証明に必要なのは、等積変形であって面積ではないのだ。

ユークリッドは、ピタゴラスの定理を示すために、『原論』第1巻を書いた」などとまことしやかに噂されることがあるが、確かにこのあたりの命題の並びを見ると、そんなような気がしてくる。信じるか信じないかは、あなた次第だ。

 

 

*1:公準1「任意の点から任意の点へ直線をひくこと」

*2:命題34「平行四辺形において、対辺および対角は互いに等しく、対角線はこれを二等分する」

*3:公理1「同じものに等しいものはまた互いに等しい」

*4:命題33「等しくかつ平行な二線分を同じ側で結ぶ二線分は、それ自身等しくかつ平行である」

*5:命題35「同じ底辺の上にあり、かつ同じ平行線の間にある平行四辺形は互いに等しい」

*6:公理1「同じものに等しいものはまた互いに等しい」

*7:平行線を「距離が一定の二直線」とする定義もある。この定義なら平行線と距離は関係があるが、ユークリッドはこの定義を採用していないので、無関係なのだ。