オペレヴィ・ヴィクセ

ユークリッドの『原論』を少しずつ読んでいくブログです。タイトルは「Q.E.D.」の元になったギリシャ語の「όπερ έδει δείξαι.」。

第1巻命題3 線分の切り取り

二つの不等な線分が与えられたとき、大きいものから小さいものに等しい線分を切り取ること。 

 

下図のように二線分ΑΒとΓ(ΑΒ>Γ)があるとき、ΑΒからΓに等しい線分を切り取りたい。

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「ΑΒからΓを切り取る」ではなく、「ΑΒからΓに等しい線分を切り取る」とあるところに、『原論』独特の感覚がある気がする。Γを移動させてΑΒから切り取る、という発想ではないようだ。
(ただし次回以降、図形の移動は頻出する。動かせないわけではないようだ)

今回は難しくない。むしろ簡単すぎる。さらっと書いて終わりにしよう。

点Αにおいて、線分Γに等しい線分ΑΔを作る*1。そして中心Α、半径ΑΔをもって円ΔΕΖを描けば*2、目的の作図が得られる。

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なぜなら、点Αは円ΔΕΖの中心であるからΑΕはΑΔに等しく*3、ΓもΑΔに等しい。よってΑΕとΓはともにΑΔに等しいので、ΑΕはΓに等しい*4

よって二つの不等な線分ΑΒとΓが与えられたとき、大きいものΑΒから小さいものΓに等しい線分ΑΕが切り取られた。これが作図すべきものだった。

簡単な作図であるが、この「切り取る」という操作は今後色んな命題に登場する。この作図は、今後の命題のための伏線である。

*1:命題2「与えられた点において与えられた線分に等しい線分を作ること」

*2:公準3「任意の点と距離とをもって円を描くこと」

*3:定義15「円とは…内部にある一点からそれへ引かれたすべての線分が互いに等しい」定義16「この点は円の中心と呼ばれる」

*4:公理1「同じものに等しいものはまた互いに等しい」