公理1
与えられた線分上に与えられた直線角に等しい角を含む円の切片を描くこと
等しい円において等しい弧の上に立つ角は、中心角も円周角も、互いに等しい。
円の切片が与えられたとき、その切片を含む完全な円を描くこと。
円において角が同じ弧を底辺とするとき、中心角は円周角の二倍である。
円において等しい弦は中心から等距離にあり、中心から等距離にある弦はまた互いに等しい。
もし円の外部に一点がとられ、その点から円周にいくつかの線分が引かれ、そのうち一つは中心を通り他は任意であるとすれば、凹形の弧に引かれた線分のうち中心を通るものは最も大きく、他の線分のうち中心を通るものに近いものは遠いものより常に大きい、他…
もし円の直径上に円の中心でない一点が取られ、その点から円周に線分が引かれるならば、中心がその上にあるものが最も大きく、この直径の残りが最も小さく、他の線分のうち中心を通る線分に近いものが遠いものよりも常に大きく、そしてその点から円周へただ…
もし二つの円が互いに接するならば、それらは同じ中心を持たないであろう。
もし二つの円が互いに交わるならば、それらは同じ中心を持たないであろう。
与えられた直線図形に等しい正方形を作ること。
鋭角三角形において、鋭角の対辺の上の正方形は、鋭角を挟む二辺の上の正方形の和より、鋭角を挟む辺の一つと、この辺へと垂線が下ろされ、この鋭角への垂線によって内部に切り取られた線分とに囲まれた矩形の二倍だけ小さい。
もし線分が二等分され、任意の線分がそれと一直線を成して加えられるならば、加えられた線分を含んだ全体の上の正方形と加えられた線分上の正方形との和は、もとの線分の半分の上の正方形と、もとの線分の半分と加えられた線分とを一直線とした上の正方形と…
もし線分が相等および不等な部分に分けられるならば、不等な部分の上の正方形の和は、もとの線分の半分の上の正方形と二つの区分点の間の線分上の正方形との和の二倍である。
もし線分が任意に二分されるならば、全体と一つの部分とに囲まれた矩形の四倍と残りの部分の上の正方形との和は、全体の線分と先の部分とを一直線とした線分上の正方形に等しい。
もし線分が任意に二分されるならば、全体の上の正方形と一つの部分の上の正方形との和は、全体の線分とこの部分とに囲まれた矩形の二倍と残りの部分の上の正方形との和に等しい。
もし線分が二等分され、任意の線分がそれと一直線を成して加えられるならば、加えられた線分を含んだ全体と加えられた線分とに囲まれた矩形ともとの線分の半分の上の正方形との和は、もとの線分の半分と加えられた線分とを合わせた線分上の正方形に等しい。
もし線分が相等および不等な部分に分けられるならば、不等な部分に囲まれた矩形と二つの区分点の間の線分上の正方形との和は、もとの線分の半分の上の正方形に等しい。
もし線分が任意に二分されるならば、全体の上の正方形は、二つの部分の上の正方形と、二つの部分によって囲まれた矩形の二倍との和に等しい。
もし三角形において、一辺の上の正方形が三角形の残りの二辺の上の正方形の和に等しければ、三角形の残りの二辺によって挟まれる角は直角である。
与えられた線分上に正方形を描くこと。
与えられた直線角の中に、与えられた直線図形に等しい平行四辺形を作ること。
与えられた線分上に与えられた三角形に等しい平行四辺形を、与えられた直線角に等しい角の中に作ること。
等しい底辺の上にあり、かつ同じ側にある等しい三角形は同じ平行線の間にある。
同じ底辺の上にあり、かつ同じ側にある等しい三角形は同じ平行線の間にある。
等しい底辺の上にあり、かつ同じ平行線の間にある平行四辺形は互いに等しい。
同じ底辺の上にあり、かつ同じ平行線の間にある平行四辺形は互いに等しい。
すべての三角形において、一辺が延長されるとき、外角は二つの内対角の和に等しく、三角形の三つの内角の和は二直角に等しい。
同一の直線に平行な二直線はまた互いに平行である。
一つの直線が二つの平行線に交わって成す錯角は互いに等しく、外角は内対角に等しく、同側内角の和は二直角に等しい。
もし一直線が二直線に交わって成す一つの外角が同じ側の内対角に等しいか、または同側内角の和が二直角に等しければ、この二直線は互いに平行であろう。