オペレヴィ・ヴィクセ

ユークリッドの『原論』を少しずつ読んでいくブログです。タイトルは「Q.E.D.」の元になったギリシャ語の「όπερ έδει δείξαι.」。

公準1

第3巻命題10 二円の交点の個数

円は円と二つより多くの点で交わらない。

第3巻命題9 等しい線分を引ける円の内部の点

もし円の内部に一点がとられ、その点から円に二つより多い等しい線分が引かれるならば、とられた点は円の中心である。

第3巻命題8 円の外部から円周へ引かれた線分

もし円の外部に一点がとられ、その点から円周にいくつかの線分が引かれ、そのうち一つは中心を通り他は任意であるとすれば、凹形の弧に引かれた線分のうち中心を通るものは最も大きく、他の線分のうち中心を通るものに近いものは遠いものより常に大きい、他…

第3巻命題7 直径上の中心でない点から引かれた線分

もし円の直径上に円の中心でない一点が取られ、その点から円周に線分が引かれるならば、中心がその上にあるものが最も大きく、この直径の残りが最も小さく、他の線分のうち中心を通る線分に近いものが遠いものよりも常に大きく、そしてその点から円周へただ…

第3巻命題6 接する二円の中心

もし二つの円が互いに接するならば、それらは同じ中心を持たないであろう。

第3巻命題5 交わる二円の中心

もし二つの円が互いに交わるならば、それらは同じ中心を持たないであろう。

第3巻命題4 中心を通らない二つの弦

もし円において中心を通らない弦が互いに交わるならば、互いに二等分しない。

第3巻命題3 弦を二等分する直線

もし円において、中心を通る線分が中心を通らない弦を二等分するならば、それをまた直角に切る。そしてもし直角に切るならば、それをまた二等分する。

第3巻命題2 円周上の二点を結ぶ線分

もし円周上に任意の二点が取られるならば、二点を結ぶ線分は円の内部に落ちるであろう。

第3巻命題1 円の中心の作図

与えられた円の中心を見出すこと。

第2巻命題14 直線図形に等しい正方形の作図

与えられた直線図形に等しい正方形を作ること。

第2巻命題11 二分された線分上の等しい正方形と矩形の作図

与えられた線分を二分し、全体と一つの部分とに囲まれた矩形を、残りの部分の上の正方形に等しくすること。

第2巻命題10 二等分および延長された線分上の正方形

もし線分が二等分され、任意の線分がそれと一直線を成して加えられるならば、加えられた線分を含んだ全体の上の正方形と加えられた線分上の正方形との和は、もとの線分の半分の上の正方形と、もとの線分の半分と加えられた線分とを一直線とした上の正方形と…

第2巻命題9 二等分および二分された線分上の正方形

もし線分が相等および不等な部分に分けられるならば、不等な部分の上の正方形の和は、もとの線分の半分の上の正方形と二つの区分点の間の線分上の正方形との和の二倍である。

第2巻命題8 二分された線分全体と一方との矩形の四倍

もし線分が任意に二分されるならば、全体と一つの部分とに囲まれた矩形の四倍と残りの部分の上の正方形との和は、全体の線分と先の部分とを一直線とした線分上の正方形に等しい。

第2巻命題7 二分された線分全体と一方の上の正方形

もし線分が任意に二分されるならば、全体の上の正方形と一つの部分の上の正方形との和は、全体の線分とこの部分とに囲まれた矩形の二倍と残りの部分の上の正方形との和に等しい。

第2巻命題6 二等分および延長された線分上の矩形

もし線分が二等分され、任意の線分がそれと一直線を成して加えられるならば、加えられた線分を含んだ全体と加えられた線分とに囲まれた矩形ともとの線分の半分の上の正方形との和は、もとの線分の半分と加えられた線分とを合わせた線分上の正方形に等しい。

第2巻命題5 二等分および二分された線分上の矩形

もし線分が相等および不等な部分に分けられるならば、不等な部分に囲まれた矩形と二つの区分点の間の線分上の正方形との和は、もとの線分の半分の上の正方形に等しい。

第2巻命題4 二分された線分全体の上の正方形

もし線分が任意に二分されるならば、全体の上の正方形は、二つの部分の上の正方形と、二つの部分によって囲まれた矩形の二倍との和に等しい。

第1巻命題48 ピタゴラスの定理の逆

もし三角形において、一辺の上の正方形が三角形の残りの二辺の上の正方形の和に等しければ、三角形の残りの二辺によって挟まれる角は直角である。

第1巻命題47 ピタゴラスの定理

直角三角形において、直角の対辺の上の正方形は直角を挟む二辺の上の正方形の和に等しい。

第1巻命題45 直線図形に等しい平行四辺形の作図(領域付置)

与えられた直線角の中に、与えられた直線図形に等しい平行四辺形を作ること。

第1巻命題44 三角形に等しい平行四辺形の作図[角と線分を与えられた場合]

与えられた線分上に与えられた三角形に等しい平行四辺形を、与えられた直線角に等しい角の中に作ること。

第1巻命題42 三角形に等しい平行四辺形の作図[角を与えられた場合]

与えられた直線角の中に与えられた三角形に等しい平行四辺形を作ること。

第1巻命題41 平行四辺形は三角形の二倍

もし平行四辺形が三角形と同じ底辺を持ち、かつ同じ平行線の間にあれば、平行四辺形は三角形の二倍である。

第1巻命題40 等底上の等しい三角形

等しい底辺の上にあり、かつ同じ側にある等しい三角形は同じ平行線の間にある。

第1巻命題39 同底上の等しい三角形

同じ底辺の上にあり、かつ同じ側にある等しい三角形は同じ平行線の間にある。

第1巻命題36 平行四辺形の等積変形[等底編]

等しい底辺の上にあり、かつ同じ平行線の間にある平行四辺形は互いに等しい。

第1巻命題33 平行な二線分を結ぶ二線分

等しくかつ平行な二線分を同じ側で結ぶ二線分は、それ自身等しくかつ平行である。

第1巻命題31 平行線の作図

与えられた点を通り、与えられた直線に平行線を引くこと。