第３巻命題３ 弦を二等分する直線

もし円において、中心を通る線分が中心を通らない弦を二等分するならば、それをまた直角に切る。そしてもし直角に切るならば、それをまた二等分する。

第３巻命題２ 円周上の二点を結ぶ線分

もし円周上に任意の二点が取られるならば、二点を結ぶ線分は円の内部に落ちるであろう。

第３巻命題１ 円の中心の作図

与えられた円の中心を見出すこと。

第３巻 定義

1. 等しい二円とは、その直径が等しいかまたはその半径が等しいものである。
2. 円と会し延長されて円を切らない直線は、円に接すると言われる。
3. 相会し相交わらない円は相接すると言われる。
4. 円において弦は、中心からそれらに下ろす垂線が等しいとき、中心から等距離にあると言われる。
5. 大きい垂線が下ろされる弦は、大きい距離にあると言われる。
6. 円の切片とは、弦と弧に囲まれた図形である。
7. 切片の角とは、弦と弧とに挟まれた角である。
8. 切片内の角とは、切片の弧の上に一点がとられ、それから切片の底辺を成す弦の両端に線分が結ばれるとき、結ばれた二線分に挟まれた角である。
9. この切片内の角を挟む二線分が弧を切り取るとき、角は弧の上に立つと言われる。
10. 円の扇形とは、円の中心において角が作られるとき、角を挟む二線分とそれによって切り取られる弧とに囲まれた図形である。
11. 二円の相似な切片とは、等しい角を含む、すなわち切片内の角が互いに等しいものである。

第２巻まとめ

しかし多くの場合、こうして紙に線をひく必要はない。各々の線をひとつずつの文字で示せば足りるのである。たとえば、線ＢＤをＧＨに加える場合は、一方をａ、他方をｂと名付けて、ａ＋ｂと書く。

――ルネ・デカルト『幾何学』

第２巻命題１４ 直線図形に等しい正方形の作図

与えられた直線図形に等しい正方形を作ること。

第２巻命題13 余弦定理［鋭角編］

鋭角三角形において、鋭角の対辺の上の正方形は、鋭角を挟む二辺の上の正方形の和より、鋭角を挟む辺の一つと、この辺へと垂線が下ろされ、この鋭角への垂線によって内部に切り取られた線分とに囲まれた矩形の二倍だけ小さい。